일반수학1. 함수의 극한

엡실론 델타 논법(=입실론 델타 논법)

 

함수 f(x)에서 x가 a로 갈 때, 그 값이 L이라고 하자. 

이는 뒤의 설명과 필요충분 조건을 만족한다. (<=>)

0보다 큰 임의의 엡실론에 대하여, 0보다 큰 델타가 항상 존재한다.

그러므로 ' 0< I x - a I < 델타 ' 를 만족한다

이에 의해 (=>)

' I f(x) - L I < 델타 '라 할 수 있다.

 

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이는 그래프를 이용해서 이해 할 수 있다.

1) y값에 대해 : 어떤 임의의 그래프에 대하여 L 값을 중심으로 +엡실론, -엡실론 만큼의 범위를 정하자.

2) 그러면 3개의 y값에 대해 3개의 x값을 얻어 낼 수 있다. 우리는 이를 ' A, a, B ' 라 할 것이다. 

3) 그 중 a가 아닌 a에 가장 근접한 값을 구하자. 임의로 A라 하겠다.

4) 이제 A를 ' a-델타 ' 라 하자 ( A<a 이며, 델타는 0보다 크다. ) 

5) 그러면 우리는 세 x값을 ' a-델타, a, a+델타 ' 라 둘 수 있다. (이는 곧 a와 다른 점 과의 거리가 델타임을 의미한다

6) 이제 우리는 수식적으로 계산을 해야 한다.

'a-델타< x < a+델타 ' 를 만족하고 0이 아닌 x에 대하여,

' - 델타< x - a < 델타 ' <=> ' I x - aI < 델타 ' 

그런데 x가 0이 아니므로 ' I x - aI > 0 ' 을 만족한다.

따라서 ' 0 < I x - aI < 델타 ' 를 만족하게 된다. 

 

 

?? :  그런데 이거랑 별개로 왜 'ㅣf(x) - Lㅣ < 델타 ' 라는 결론이 나오는 거지???

 

- 이에 대하여 식을 증명하는 포인트는 x-a꼴로 만드는 것이다. 

 

 

이를 ' 극한에 대한 엄밀한 정의 ' 라 볼 수 있다.

 

교재를 보면 한쪽 극한에 대한 정의도 찾아 볼 수 있다. 이는 ' a-델타< x < a ' 의 범위에 대해 정의하는 것이고 'ㅣf(x) - Lㅣ < 델타 ' 라는 결론은 동일하게 나온다.

하지만 마찬가지로 한번 증명해 보아야 할 것 같다. 

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삼일률

 

: 삼일률(三一律, trichotomy)이라는 게 있는데

정수 a, b, c ∈ Z 에 대하여

a < b, a = b, a > b 중 단 하나만을 만족한다는 것이다. (출처 : m.blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=obrigadu&logNo=50098658552&proxyReferer=https:%2F%2Fwww.google.com%2F)

 

이 필기가 왜 있는지 기억이 안나는데, 나중에 무엇인지 이해하자. 뭔소리야 저게

 

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함수의 극한을 구하는 법 중 극한의 성질을 이용한 방법은 고등과정에서 배웠으므로 생략

 

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