[회로이론1] Introduction - linearity

회로이론 1의 단계에서 회로 분석을 하기 위해서는 가장 중요하게 전제되는 것은 소자들이 선형적(linearity)으로 동작한다는 것이다. 따라서 회로이론 1에서는 선형적으로 동작하는 저항 R, 커패시터 C, 인덕터 L에 대한 소자를 사용한 회로의 동작에 대해 학습하게 된다. 

 

선형성에 대해 알아보자 . 최종적으로 다음 식과 같은 성질을 가지면 해당 함수 f(x)는 선형 함수라고 한다. 

 

이를 두가지로 나누어 해석할 수 있다. 

 

 1) 동차성(Homogeneity) 또는 비례성(Proportionality)

 어떤 입력 A와 스칼라 값 c에 대해, 함수 f가 f(cA) = cf(A)를 만족시키는 성질이다. 이는 입력이 스칼라 값으로 스케일링되면, 출력도 동일한 스케일로 변한다. 입력x에 상수a 를 곱하고 함수로 연산한 결과와 입력 x를 넣고 연산한 결과에 상수를 곱한 값이 일치해야 한다. 

• f(ax)=af(x)

 

 

2) 가산성(Additivity)

 두 입력 A와 B에 대해 함수 f가 있다고 할 때, f(A + B) = f(A) + f(B)를 만족해야 한다. 즉, 두 입력을 더한 후 함수를 적용한 결과는 각 입력에 대해 함수를 적용한 결과의 합과 같아야 한다.

• f(x_1+x_2 )=f(x_1 )+f(x_2 )

 

일반적으로 적분, 미분 등의 연산은 선형 연산이라 볼 수 있다. 

 

회로에서 선형 소자인 R, L, C 를 linear elements 라 한다. 아래의 표와 같이 선형 소자와 비선형소자를 분류할 수 있다. 선형소자는 보통 전자소자이며, 수동 소자라고도 한다. 

 

linear elements,  linear component	non-linear elements,  non-linear component (비선형 소자)
electrical elements (전자 소자)	electronic elements (전기 소자)
passive element, passive component (수동 소자)	active element, active  component (능동 소자)
	다이오드, 트랜지스터, 연산증폭기, IC..

 

선형 소자는 해당 소자의 전류- 전압 관계 (I - V)가 선형 함수로 나타나게 된다.  선형 소자에 대하여 전류 - 전압 관계를 나타내면 다음과 같이 미분 혹은 적분의 관계로 나타나며, 이는 선형 연산인것을 알 수 있다. 

 

저항 R	커패시터 C	인덕터 L

 

•V=IR

•V=1/C  ∫128▒〖i dt〗

V=L di/dt

 

해당 소자들이 선형으로 동작하는 것을 아래와 같이 증명할 수 있다. 전류 i가 ax + y라 하면, 다음과 같이 선형 연산이 가능하다. 

•V=(ax+y)R=axR+yR

•V=1/C  ∫128▒〖(ax+y) dt〗 = 1/C  a∫128▒(x)dt+1/C  ∫128▒〖(y) dt〗

V=L (d(ax+y))/dt = L a (d(x))/dt + L (d(y))/dt

 

 

선형 회로(The linear network(circuit) )는 선형 소자로만 이루어진 회로를 뜻한다. 비선형 소자가 포함되어 있다면 해당 회로는 비선형으로 동작하게 된다. 비선형 회로의 경우 선형으로 동작할 조건 등을 찾아 해당 상황에 대하여 회로를 분석해야 한다.