[회로이론1] Basic RC / RL Circuits (1) 방전

hyat 회로이론 8장 

 

1. 무전원(Source-Free) RC 회로의 전압 특성 

 

커패시터는 전하는 저장하는 소자이다. 다음과 같은 전압 전류 관계식을 가진다. 

 

따라서 회로 해석을 위해서는 미분 방정식을 풀이하고 해석할 수 있어야 한다. 

 

아래 회로와 같이 초기 조건 (initial condition) (t=0에서  커패시터에 저장된 전압 = V0)인 RC 회로를 살펴보자

외부 전원이나 강제 함수가 없다고 가정하면 이 무전원 회로의 해는 자연 응답이 된다. 

* 자연 응답 : 외부 전원이 없는 경우의 동작

KCL을 사용하면  해 :

 

 

미분 방정식 해 구하기 

1) 미분 방정식 구하기

2) 미분 방정식 풀이  2.1 자연 응답 해( natural response ) ( 일반해 )

2.2 강제 응답 해( Forced Response ) , 특수 해 구하기

2.3 완전 응답

2.4 초기 조건 확인으로 A 값 구하기

 

 

 

 

결론적으로 무전원 RC 회로의 응답 특성은 다음과 같다 

 

이때 RC를 시상수(The time constant , τ = RC) 라 한다. 

 

 

2. The Exponential Response

무전원 RC 회로에서 C의 전압을 Exponential 한 특성을 가진다. 

 

그러므로  τ = t 에서의 응답은 초기값이 36.8%로 떨어진다. 

 

 

- 전압이 0으로 감소하는 시간이 얼마나 걸리는가 ?   ->  약 5τ. 이 시점에서 전압은 원래 값의 1% 미만으로 감소한다.

 

 

 

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3. 무전원(Source-Free) RL 회로의 전류 특성 

 

인덕터의 전압 전류 관계식은 다음과 같다. 

initial condition i(0) = I0

 

 

initial condition, i(0) = I0

미분 방정식 :  해 :

 

 

 

미분 방정식 해 구하기 

1) 미분 방정식 구하기

2) 미분 방정식 풀이  2.1 자연 응답 해( natural response ) ( 일반해)

2.2 강제 응답 해( Forced Response ) , 특수 해 구하기

2.3 완전 응답

2.4 초기 조건 확인으로 A 값 구하기

 

 

 

 

 

결론적으로 

 

이때 τ = L R 이다. 

 

 

4. The Exponential Response

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. 이때 커패시터는 전압에 대한식을, 인덕터는 전류에 관한 식을 사용하는 이유가 무엇일까?

 

회로를 분석하고 미분방정식을 풀기 위해서는 초기조건이 필요하다. 즉, t = 0일떄의 값을 알고 있어야 한다. 

커패시터의 전압값과 인덕터의 전류는 항상 연속적으로 변화하므로 미분값이 연속이다. 
하지만 커패시터의 전류와 인덕터의 전압은 미분가능하지 않을 수 있다. 즉, 미분 한 함수가 불연속일 수 있다. 

 

즉 위 표의 적분으로 표현된 값이 연속적으로 변화하게 될 것이며, 

파랑으로 표시된 값으로 식을 전개해야 연속적인 초기값을 사용하게 되기 때문이다. 

 

 

 

 

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[회로이론 1] Basic Component (1) ( 저항, 커패시터, 인덕터)